不定方程示例 

 解题技巧 

1、代入法：把选项代入题干中进行验证，从而选出正确答案。

例题

3X+8Y=37，已知X、Y为正整数，则Y=( )。

A. 1 B.2 C.3 D.4

【解析】代入A选项，Y=1，即3X+8×1=37，3X=29，解出X不是正整数，排除;代入B选项，Y=2，即3X-8×2=37，3X=21，X=7，符合题干要求;同理代入C、D求出X，X都不是正整数，不符合题干要求，故正确答案为B。

2、整除法：当未知数系数除了某项外都与常数项存在公约数，则该项是公约数的倍数。

例题

4X+7Y=40，已知X、Y为正整数，则Y=( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析】根据题干可知：4、40有公约数4，则7Y是4的倍数,而7不是4的倍数，所以Y是4的倍数，故正确答案为D

【点拨：4的倍数+?=4的倍数，?必为4的倍数，而7不是4的倍数，则Y是4的倍数。】

3、奇偶法：未知数系数有奇数有偶数，可根据奇偶性求解。

例题

4X+5Y=23，已知X、Y为正整数，则Y=( )。

A.2 B.3 C.4 D.6

【解析】根据题干可知：23为奇数，4X为偶数，即5Y为奇数，5是奇数，则Y也为奇数，故正确答案为B。

【点拨：偶数±偶数=偶数，偶数±奇数=奇数，奇数±奇数=偶数;

偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数】

4、尾数法：当未知数系数是5或是5的倍数，可以根据尾数确定答案。

例题

10X+3Y=41，已知X、Y为正整数，则Y=( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

【解析】根据题干可知：41的尾数为1,10X的尾数为0，则3Y的尾数应该为1，结合选项当Y=7时，3Y的尾数为1，故正确答案为C。

代入法、整除法、奇偶法、尾数法就是我们解决不定方程在正整数范围内常用的四种方法，实际解题过程中，我们经常需要把四种解题技巧结合使用，我们一起来看一道例题。

例题

某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元。已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导?

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】答案选B。设该部门领导、普通员工分别为X、Y人，根据题干可知：50X+20Y=320，且X+Y>10;化简方程可得5X+2Y=32，观察可知：2Y为偶数，32为偶数，所以5X也为偶数，而5为奇数，则X必为偶数，排除A、C，代入B、D验证，若X=2，5×2+2Y=32，Y=11，且X+Y=2+11=13>10，符合要求;若X=4，5×4+2Y=32，Y=6，且X+Y=4+6=10，不符合题干要求。故正确答案选B。