作为一名政府工作人员，我会采取以下措施来处理这个问题：

1. 了解情况：首先，我会与邻居老头的子女进行沟通，了解他们所声称的老人摔倒的具体情况。我会询问他们是否有证据证明篱笆墙是导致老人摔倒的原因，如照片、视频或其他目击证人的证言。

2. 调查事实：如果邻居老头的子女提供了相关证据，我会前往现场进行调查，核实篱笆墙是否确实存在安全隐患。如果发现篱笆墙存在缺陷或破损，我会拍照或录像作为证据。

3. 法律咨询：我会联系当地的法律专业人士，咨询他们对此类事件的法律意见。根据法律专家的建议，我可以更好地了解我在此事件中的角色和职责。

4. 调解协商：在了解了事实和法律规定后，我会尝试调解邻居老头的子女和邻居之间的纠纷。我会向邻居解释他的行为可能存在的法律责任，并鼓励他与邻居老头的子女进行协商以达成解决方案。

5. 报告和记录：如果调解失败，任何一方决定采取法律行动，我会将此事件报告给相关部门并记录在案。这将有助于未来在法庭上提供证据和支持案件。

6. 教育和宣传：最后，我会将这个案例作为社区安全教育的例子，提醒居民注意个人安全，尽量避免类似事件的发生。

通过以上措施，我相信我们可以妥善处理这个纠纷，同时提高社区居民的安全意识。